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指数函数和对数函数知识点
1.映射:注意 ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。
2.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;
⑤换元法 ;⑥利用均值不等式 ; ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性;⑨导数法
3.复合函数的有关问题
(1)复合函数定义域求法:
① 若f(x)的定义域为〔a,b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域。
(2)复合函数单调性的判定:
①首先将原函数 分解为基本函数:内函数 与外函数 ;
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;
③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
注意:外函数 的定义域是内函数 的值域。
4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。
5.函数的奇偶性
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;
⑵ 是奇函数
⑶ 是偶函数
⑷ 奇函数在原点有定义,则 ;
⑸在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性;
(6)若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性;
6.函数的单调性
⑴单调性的定义:
⑵单调性的判定
1 定义法:
注意:一般要将式子 化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号;
②导数法(见导数部分);
③复合函数法(见2 (2));
④图像法。
注:证明单调性主要用定义法和导数法。
7.函数的周期性
(1)周期性的定义:
对定义域内的任意 ,若有 (其中 为非零常数),则称函数 为周期函数, 为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。
(2)三角函数的周期
⑶函数周期的判定
①定义法(试值) ②图像法 ③公式法(利用(2)中结论)
⑷与周期有关的结论
① 或 的周期为 ;
② 的图象关于点 中心对称 周期为2 ;
③ 的图象关于直线 轴对称 周期为2 ;
④ 的图象关于点 中心对称,直线 轴对称 周期为4 ;
8.基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数 ⑵指数函数
⑶对数函数 ⑷正弦函数
⑸余弦函数 (6)正切函数⑺一元二次函数
⑻其它常用函数
1 正比例函数②反比例函数
2 函数
9.二次函数
⑴解析式
①一般式
②顶点式
③零点式
⑵二次函数问题解决需考虑的因素:
①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。
⑶二次函数问题解决方法:①数形结合;②分类讨论。
10.函数图象:
⑴图象作法 ①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法
⑵图象变换
1 平移变换
3 伸缩变换
4 对称变换
5 翻转变换
11.函数图象(曲线)对称性的证明
(1)证明函数 图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明函数 与 图象的对称性,即证明 图象上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点在 的图象上,反之亦然;
注:
①曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a-x,2b-y)=0;
②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为:f(2a-x, y)=0;
③曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
④f(a+x)=f(b-x) (x∈R) y=f(x)图像关于直线x= 对称;
特别地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R) y=f(x)图像关于直线x=a对称;
⑤函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;
12.函数零点的求法:
⑴直接法(求 的根);⑵图象法;⑶二分法.
13.导数
⑴导数定义:f(x)在点x0处的导数记作 ;
⑵常见函数的导数公式
⑶导数的四则运算法则:
⑷(理科)复合函数的导数:
⑸导数的应用:
①利用导数求切线:注意:ⅰ所给点是切点吗?ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线?
②利用导数判断函数单调性:
ⅰ 是增函数;ⅱ 为减函数;
ⅲ 为常数;
③利用导数求极值:ⅰ求导数 ;ⅱ求方程 的根;ⅲ列表得极值。
④利用导数最大值与最小值:ⅰ求的极值;ⅱ求区间端点值(如果有);ⅲ得最值。
14.(理科)定积分
⑴定积分的定义
⑵定积分的性质
⑶微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式)
⑷定积分的应用:①求曲边梯形的面积:
3 求变速直线运动的路程③求变力做功
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