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交变电磁场中岩、矿石的物理性质

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Q1：交变电磁场中岩、矿石的物理性质

麦克斯韦方程是电磁法的理论基础。我们从麦克斯韦方程出发，讨论如何利用电磁场研究地质构造并确定它的电学或磁学特性。

4.1.1.1 麦克斯韦方程

(1)时间域麦克斯韦方程

一个电磁场可用定义域中四个矢量函数来确定，即

H为磁场强度，单位为A/m；

E为电场强度，单位为V/m；

D为电位移，单位为C/m²；

B为磁感应强度，单位为特[斯拉](T)。

试验表明，所有电磁现象都服从麦克斯韦方程。在时间域中，麦克斯韦方程的微分形式可写为

电法勘探

式中：j为传导电流密度，A/m²；q为自由电荷体密度，C/m³。

另外，由于∂ D/∂ t具有电流密度量纲，称为位移电流密度；与此类似，∂ B/∂ t称为磁流密度。

对方程式(4.1.1)的第一式取散度，有

电法勘探

由于▽·▽×H=0，固有

电法勘探

式(4.1.3)也是麦克斯韦方程组中应有的一个基本方程，称为电流连续性方程。在电导率σ等于或大于10^-4S/m的均匀介质中，自由电荷不可能堆积在某一处，经过一定时间(t＜10^-6s)被介质导走，故对于频率低于10⁵的地球物理勘查问题来说

电法勘探

于是

▽·j=0 (4.1.5)

在非均匀区间，不同介质的分界面上会产生面电荷，上式是不成立的。

麦克斯韦方程可以很好地描述勘查地球物理学中的任何电磁现象。式(4.1.1)的第一式为安培定律的表达式，它描述了电流与其产生的磁场之间的关系；第二式为法拉第定律的表达式，它描述了变化的磁场与其产生的电场之间的关系；第三式为磁通连续性原理，说明磁力线没有始点，也没有终点，磁力线会闭合或延伸至无穷远(换句话说，进入任何区域的磁场线，必须从那区域离开)；第四式为高斯定理，描述了穿过任意闭曲面的电通量与这闭曲面内的电荷之间的关系。然而，从上述基本方程组中不能明显地看出电磁场特征与地质构造电学或磁学的相互关系。为了突出这种关联，让我们转而从一组状态方程入手。

(2)状态方程

A.电导率

状态方程式中，对感应类电法最重要的当属欧姆定律。它给出了电流和电场之间的关系

j=σE (4.1.6)

式中：σ为电导率。

不同的岩、矿石的电阻率是不同的，这是电磁感应法勘探的基础。同时，电导率不一定是常数，它可以随时间、温度、压力以及其他一些环境因素的改变而变化，这在第1章已详细介绍了。

B.介电常数

麦克斯韦在构造以他的名字命名的方程组时意识到，必须用一个状态方程把电场强度和电位移矢量联系起来，即

D=εE (4.1.7)

从而定义了另一个参数ε，即所谓的介电常数。介电性是介质可以被极化的性质，介电极化是一个重要的电学现象。根据经典电介质理论，介质极化是电子、原子核和极性分子在外电场作用下从中性平衡位置移向非中性位置运动造成的。这种电荷分离过程直到电荷间的库仑力与外电场平衡时始告结束。

一般物质都是电中性的，其中正、负电荷相互平衡，不产生宏观电场。但是，在外电场的作用下，各种物质在不同程度上出现正、负电荷的两极分化，偏离平衡，形成极化。有些介质的分子原来就是极性分子(如水分子H₂O是极性分子)，则在外电场的作用下出现定向排列(图4.1.1)。

图4.1.1 分子极化的模式

介电极化都有一个形成过程。从外电场开始给定的时刻算起，到极化完全建立时为止的这段时间，在介电物理学中称为响应时间。在稳定电场中，刚开始供电的瞬间，介电极化会产生一个附加电流，但介电极化在很短的时间内即可形成，且一经完成，便不再有电荷的运动，不再形成附加电流。上述极性分子的定向排列只起到削弱外加电场的作用。

在电法勘探常用的低频段上还存在第3 章提到的介质“激发极化”现象。对于低频电磁法，特别是高精度电磁测量，我们应该考虑它的影响。

介电常数ε与电导率σ类似。但不同的是，即使在不存在介质的情形下，介电常数仍有一个确定的值，这就是自由空间的介电常数ε₀，其值为

ε₀=8.85×10^-12(F/m) (4.1.8)

通常用ε_r表示相对介电常数，即有

ε=ε_rε₀ (4.1.9)

表4.1.1列出了常见矿物和纯水的ε_r值，其中大多数是在f=10⁵Hz或更高频率时干燥状态下测得的。由表可知，绝大多数造岩矿物的相对介电常数ε_r均很小(它们都是离子键结合的晶体，以离子极化为主)，且变化不大(4～12)。金属矿物一般具有较大的ε_r(10～n×10)值，纯水的ε_r最大，达80。

表4.1.1 几种常见矿物和纯水的ε_r值

(引自傅良魁主编《电法勘探》，1983)

干燥岩石在高频条件下的ε_r值变化范围也不大。表4.1.2列出了几种常见岩石的ε_r实测值(用f=10⁵Hz频率测定)。它表明一般胶结岩石的ε_r约在10 上下。

表4.1.2 几种常见岩石的ε_r值

对于广泛分布的岩石，尤其是沉积岩，影响介电常数的主要因素是其含水性，且水分子的张弛极化是介电极化的重要原因。随着湿度的增加，ε_r加大。只是对于坚固和干燥的岩石，矿物成分才为影响介电常数值的重要因素。

C.磁导率

还有一个状态方程把磁场强度和磁感应强度联系在一起。这个方程是

B=μH (4.1.10)

式中：μ是介质的另一个特征参数，定义为磁导率。

介质的导磁特性是磁法勘探的基础，对电磁法也十分重要。假如不存在介质，自由空间中磁场强度与磁感应强度的关系是

B=μ₀H (4.1.11)

由此我们得到一个对研究电磁场特性非常重要的量

μ₀=4π×10^-7H/m (4.1.12)

为方便起见，磁导率通常表示为

(4.1.13)μ=μ_rμ₀

式中：μ_r称为相对磁导率。

(3)频率域麦克斯韦方程

下面考虑谐变电磁场情况。角频率为ω的电磁波可用余弦函数cosωt或正弦函数sinωt表示。但为了计算方便和包含更多的物理内容，常用复数来表示电磁波中的场矢量，一般情况下，取

H=H₀e^-iωt，E=E₀e^-iωt (4.1.14)

式中：H₀和E₀是H和E的振幅矢量，它们与t无关，于是得算符

电法勘探

将上述算符代入式(4.1.1)，并利用式(4.1.5)、式(4.1.6)、式(4.1.7)和式(4.1.10)，可得

电法勘探

这便是麦克斯韦方程的时谐形式，公式中的时间因子都隐含在E和H中。

4.1.1.2 非线性和频散性

在上面的讨论中，各种岩、矿石的电磁特征是由电导率、介电常数和磁导率决定的，好像与频率无关。在交变电磁场中，上述这些物理参数实际上是与频率有关的，这种现象就是所谓频散性。同时，它们还是电场强度或磁感应强度的函数，这就是所谓的非线性。

另外，由三个状态方程定义的电导率、介电常数和磁导率并不一定是实数。一般地说，方程式(4.1.6)、式(4.1.7)和式(4.1.10)允许这些参数为复数。因此，在D和E之间、H和B之间以及J和E之间存在相位差。

以介电常数为例，由于介电极化都有一个过程(响应时间，虽然很短)，因此要滞后于外电场的变化，频率越高，这种滞后越明显。因此，在数学上需要用一个复数才能表达介电常数完整的物理意义。如果响应时间比交变电磁场的半周期短得多，则介质仍可完全极化，ε保持为常数，否则ε将随频率的升高而减小。一般地，介质的响应时间一般都很短，因此在电法勘探所用的频率范围内(＜10⁵Hz)，仍可认为介电常数不随频率变化的实常数。

在一个电路中，如果某一参数与频率有关，其他参数也必具有频散性。电磁法理论研究和野外工作中，在电法勘探所使用的频率范围内，我们一般不考虑电阻率的频率特性，认为与在稳定电场的情况相同，并且认为是线性的，不随电流密度或电场强度的变化而改变。

在地质勘探中，常见大多数岩、矿石都是无磁性的，其相对磁导率约为1，只有磁铁矿(μ_r=5)、磁黄铁矿(μ_r=2.55)、钛铁矿(μ_r=1.55)等磁性矿物较多的岩、矿石才具有磁性。因此，在大多数电磁法勘探中，如不做特殊说明，都可以认为岩、矿石是无磁性的，其磁导率等于真空中的磁导率。

4.1.1.3 电导率和介电常数影响相对重要性

从上面的讨论可知，在交变电场情况下，导电介质内部不仅有与电阻率有关的传导电流外，还显示出与岩、矿石介电常数(ε)有关的“位移电流”。因此，在导电介质中总电流密度j为

j=j_ρ+j_d=▽×H (4.1.16)

式中：j_ρ=

为传导电流密度；j_d=

=

为位移电流密度；E为考察点的电场强度。

设E为谐变场E=E₀e^-iωt，则

j_d=-iωεE (4.1.17)

当介质中存在谐变电场时，介质的电导率σ大小决定其中的传导电流大小，介电常数ε大小决定其中的位移电流大小。传导电流和位移电流的相对大小确定了电导率影响和介电常数影响的相对重要性。传导电流和位移电流的比值称为介质的电磁系数m，即

电法勘探

当m≫1时，介质中传导电流起主要作用，此时可忽略位移电流作用；反之，当m≪1时，主要由位移电流起作用，可忽略传导电流作用。当m=1时，说明传导电流和位移电流具有同等重要性，场的性质因此变得复杂。利用式(4.1.18)计算导体(m＞10)和介电体(m＜0.1)的范围示于图4.1.2。考虑到野外实际情况，图中取ε_r为5～50。

在感应电磁法中，应用的电磁频率f 一般低于10⁵Hz，大多数岩石的电阻率一般低于10⁴Ω·m，而ε_r值一般在n×10数量级，因此，一般有m≫1。在这种情况下，可忽略位移电流的影响，岩石的导电性主要由其电阻率决定。只是在频率超过10⁶Hz的高频电磁法中(如无线电波透视法和地质雷达)才考虑位移电流作用。

图4.1.2 介质的电磁系数与介质的电阻率、介电常数和电磁场频率之间的关系

我们知道，任何介质都不同程度地具有导电性和介电性，结果导致部分能量转化为热量，损耗角就是衡量这一热损耗的参数。由(4.1.16)和(4.1.17)式可得

电法勘探

若令

电法勘探

式中：ε^*称为等效复介电常数。

这样处理相当于将电导率归到了介电常数的虚部。于是，在导电介质和介质体中安培定律都满足同一形式的方程

▽×H=-iωε^*E (4.1.21)

在式(4.1.20)中，实部代替了位移电流的贡献，故此项不产生能量损耗；虚部则代替了传导电流的贡献，此项引起能量损耗。虚部对实部的比值就是所谓的耗损因子，随着可产生热耗损的传导电流越来越重要，这个比值也越来越大，耗损因子常用耗损角的正切来表示，即有

电法勘探

它给出了由介质导电性引起的能量损耗的特性。

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